Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1990
Hasil dari \( \int x \cos(2x-1) \ dx = \cdots \ ? \)
- \( x \sin(2x-1) + \frac{1}{2} \cos(2x-1) + C \)
- \( x \sin(2x-1) - \frac{1}{4} \cos(2x-1) + C \)
- \( \frac{1}{2} x \sin(2x-1) + \frac{1}{4} \cos(2x-1) + C \)
- \( \frac{1}{2} x \sin(2x-1) - \frac{1}{2} \cos(2x-1) + C \)
- \( \frac{1}{2} x \sin(2x-1) + \frac{1}{2} \cos(2x-1) + C \)
Pembahasan:
Soal integral ini bisa kita selesaikan menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan \( u = x \) dan \( dv = \cos(2x-1) \ dx \) sehingga \( \int x \cos(2x-1) \ dx = \int u \ dv \) dan kita peroleh berikut:
\begin{aligned} u = x \Leftrightarrow du &= dx \\[8pt] dv = \cos x \ dx \Leftrightarrow v &= \int \cos(2x-1) \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}\sin(2x-1) \end{aligned}
Dari hasil di atas, kita peroleh berikut:
\begin{aligned} \int u \ dv &= uv-\int v \ du \\[8pt] \int x \cos(2x-1) \ dx &= x \cdot \frac{1}{2}\sin(2x-1) - \int \frac{1}{2}\sin(2x-1) \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x \sin(2x-1)-\frac{1}{2} \left( - \frac{1}{2} \cos(2x-1) \right) + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}x \sin(2x-1)+\frac{1}{4} \cos(2x-1) + C \end{aligned}
Jawaban C.